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数字和与数字积的有趣数字问题

数学加 2017-12-04 13: 56      浏览次数:
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数字和差相关的内容真的是很烧脑子的内容,但是对于很多学生来讲,这种趣味数学的问题本身就带着趣味和魔力。数学加今天带来一个新内容。

数学加

一个自然数,数字和是20;如果乘以2,数字和是22;如果乘以4,数字和是35,那么这个数最小是多少?


分析与解答

答案:最小是7274。

一个自然数乘以 2 后,它的数字和会怎么变化呢?我们先来探究这个问题。

如果一个自然乘以 2 后没有进位,即每一位都小 5 时,那么乘以 2 后,它的数字和将跟着变为原数数字和的 2 倍。例如:1234 的数字和为 1+2+3+4=10,乘以 2 后为 2468,数字和为 2+4+6+8=20,每一位都变为原来的 2 倍,而且没有进位,所以数字和也变为原来数字和的 2倍。

如果有进位怎么办呢?我们先考虑只有一个进位的情况。比如 2346,它的数字和为 2+3+4+6=15,它的数字和的 2 倍为 4+6+8+12=30。但是新数的数字和是不是 30 呢?显然不是,因为当 6 乘以 2 时,它要向十位进一。实际上,新数的数字和相对原数的数字和的 2 倍减少了 9(由 12 变为 2,减少了10,向前进一位,增加了1)。

同样的道理,如果原数乘以 2 后,有 2 个进位,那么新数的数字和相对原数的数字和的 2 倍将减少 18;依此类推,如果原数乘以 2 后,有 k 个进位,那么新数的数字和相对原数的数字和的 2 倍将减少 9k。

有了以上的结论,再来看本期问题,设这个自然数为 A,从 A 到 2A,数字和从 20 变到了 22,20×2-22=18,说明有两个进位,即 A 中有两个数字是大于等于 5 的。

而从 2A 到 4A,数字和从 22 变到了 35,22×2-35=9,说明只有一个进位,即 2A 中只有一个数字是大于等于 5 的。

考虑到 2A 的数字为 22,且只含有一个大于等于 5 的数字,则 2A 至少是一个五位数。否则的话,2A 的数字和最大为 9+4+4+4=21,矛盾。又考虑到要最小,那么 2A 的前两位最小是 14,否则的话它的数字和将小于 1+4+4+4+9=22。当 2A 的前两位是 14 时,后三位只能由 4、4、9 组成,由于 2A 为偶数,所以 2A 最小为 14494。

此时 A=7274,即为所求最小值。

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